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Der Airy-Prozess ist eine Familie von stationären stochastischen Prozessen, die als Grenzwerte in der Theorie der Zufallsmatrizen und der statistischen Physik auftauchen. Es wird vermutet, dass die Airy-Prozess die langzeit, groß-skalierte räumliche Fluktuation der Modelle in der (1+1) KPZ-Universalitätsklasse (das heißt eine 1 Zeit- und 1 Raum-Dimension) für viele Anfangsbedingungen beschreiben.cite-ref-1[1] Der Name der Prozesse leitet sich von der Airy-Funktion ab.

Der Airy2-Prozess wurde 2002 von den Mathematikern Michael Prähofer und Herbert Spohn eingeführt. Sie bewiesen, dass die Höhenfunktion eines zufälligen Wachstumsmodelles – dem PNG-Droplet – unter einer bestimmten Skalierung und Anfangsbedingung gegen den Airy2-Prozess konvergiert. Des Weiteren bewiesen sie, dass der Prozess stationär ist und fast sicher stetig Pfade hat.cite-ref-2[2]

Der Airy2-Prozess wird über seine endlichdimensionale Verteilung definiert, welche eine Fredholm-Determinante des erweiterten Airy-Kerns ist. Betrachtet man nur einen Zeitpunkt (die Einpunkt-Verteilung) so folgt der Airy2-Prozess der Tracy-Widom-Verteilung des GUE.cite-ref-3[3]cite-ref-4[4]

Der Airy 1 {\displaystyle _{1}} -Prozess wurde von Tomohiro Sasomotocite-ref-5[5] eingeführt und seine Einpunkt-Verteilung ist die Tracy-Widom-Verteilung des GOE. Es existiert auch ein Airystat-Prozess.cite-ref-6[6]

• Airy 2 -Prozess

• Erläuterungen

• Einzelnachweise

Seien t 1 < t 2 < ⋯ ⋯ < t n {\displaystyle t_{1}<t_{2}<\dots <t_{n}} in R {\displaystyle \mathbb {R} } .

Der Airy2-Prozess A 2 ( t ) {\displaystyle A_{2}(t)} ist der stochastische Prozess, so dass

P ( A 2 ( t 1 ) < ξ ξ 1 , … … , A 2 ( t n ) < ξ ξ n ) = det ( 1 − − f 1 / 2 K Ai ext f 1 / 2 ) L 2 ( { t 1 , … … , t n } × × R ) {\displaystyle P(A_{2}(t_{1})<\xi _{1},\dots ,A_{2}(t_{n})<\xi _{n})=\det(1-f^{1/2}K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }f^{1/2})_{L^{2}(\{t_{1},\dots ,t_{n}\}\times \mathbb {R} )}}

wobei

f := f ( t j , ξ ξ ) := 1 { ( ξ ξ j , ∞ ∞ ) } ( ξ ξ ) {\displaystyle f:=f(t_{j},\xi ):=1_{\{(\xi _{j},\infty )\}}(\xi )}

und der erweiterte Airy-Kern als Matrixkern durch

K Ai ext := K Ai ext ( t i , x ; t j , y ) = { ∫ ∫ 0 ∞ ∞ e − − z ( t i − − t j ) Ai ⁡ ⁡ ( x + z ) Ai ⁡ ⁡ ( y + z ) d z falls t i ≥ ≥ t j − − ∫ ∫ − − ∞ ∞ 0 e − − z ( t i − − t j ) Ai ⁡ ⁡ ( x + z ) Ai ⁡ ⁡ ( y + z ) d z falls t i < t j {\displaystyle K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }:=K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }(t_{i},x;t_{j},y)={\begin{cases}{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-z(t_{i}-t_{j})}\operatorname {Ai} (x+z)\operatorname {Ai} (y+z)\mathrm {d} z}&{\text{falls}}\;t_{i}\geq t_{j}\\{\displaystyle -\int _{-\infty }^{0}e^{-z(t_{i}-t_{j})}\operatorname {Ai} (x+z)\operatorname {Ai} (y+z)\mathrm {d} z}&{\text{falls}}\;t_{i}<t_{j}\end{cases}}}

definiert ist.

• Im Fall t i = t j {\displaystyle t_{i}=t_{j}} wird der erweiterte Airy-Kern zum Airy-Kern und es gilt

P ( A 2 ( t ) ≤ ≤ ξ ξ ) = F 2 ( ξ ξ ) , {\displaystyle P(A_{2}(t)\leq \xi )=F_{2}(\xi ),}

wobei F 2 ( ξ ξ ) {\displaystyle F_{2}(\xi )} die Tracy-Widom-Verteilung des gaußschen unitären Ensembles ist. Unter einer bestimmten Skalierung konvergiert somit der größte Eigenwert des GUEs zu dem Airy-Prozess in Verteilung.

• f 1 / 2 K Ai ext f 1 / 2 {\displaystyle f^{1/2}K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }f^{1/2}} ist ein Spurklasseoperator auf L 2 ( { t 1 , … … , t n } × × R ) {\displaystyle L^{2}(\{t_{1},\dots ,t_{n}\}\times \mathbb {R} )} mit Zählmaß auf { t 1 , … … , t n } {\displaystyle \{t_{1},\dots ,t_{n}\}} und Lebesgue-Maß auf R {\displaystyle \mathbb {R} } . Der Integralkern ist f 1 / 2 K Ai ext ( t i , x ; t j , y ) f 1 / 2 {\displaystyle f^{1/2}K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }(t_{i},x;t_{j},y)f^{1/2}} .cite-ref-7[7]

cite-note-11. ↑ Basu, R., Busani, O. & Ferrari, P.L.: On the Exponent Governing the Correlation Decay of the Airy1 Process. In: Commun. Math. Phys. 2022, doi:10.1007/s00220-022-04544-1.

cite-note-22. ↑ Michael Prähofer und Herbert Spohn: Scale Invariance of the PNG Droplet and the Airy Process. In: Journal of Statistical Physics. Band 108, 2002, arxiv:math/0105240.

cite-note-33. ↑ Craig Tracy und Harold Widom: A System of Differential Equations for the Airy Process. In: Electronic Communications in Probability. Band 8, 2003, S. 93 - 98, doi:10.1214/ECP.v8-1074.

cite-note-44. ↑ Kurt Johansson: Discrete Polynuclear Growth and Determinantal Processes. In: Commun. Math. Phys. Band 242, 2003, S. 277–329, doi:10.1007/s00220-003-0945-y, arxiv:math/0206208.

cite-note-55. ↑ Tomohiro Sasamoto: Spatial correlations of the 1D KPZ surface on a flat substrate. In: IOP Publishing (Hrsg.): Journal of Physics A: Mathematical and General. Band 38, Nr. 33, 2005, S. L549-L556, doi:10.1088/0305-4470/38/33/l01.

cite-note-66. ↑ Jinho Baik, Patrik L. Ferrari und Sandrine: Limit process of stationary TASEP near the characteristic line. In: Wiley (Hrsg.): Communications on Pure and Applied Mathematics. Band 63, Nr. 8, 2010, S. 1017–1070, doi:10.1002/cpa.20316.

cite-note-77. ↑ Kurt Johansson: Discrete Polynuclear Growth and Determinantal Processes. In: Commun. Math. Phys. Band 242, 2003, S. 290, doi:10.1007/s00220-003-0945-y, arxiv:math/0206208.